Budova dnešní Základní škola Floriána Bayera stojí na tomto místě již od počátku 20. století. Původně zde sídlila obecná škola, kterou navštěvovali žáci 1. – 5. ročníku. V letech 1908–1913 ji navštěvoval také Florián Bayer, po němž škola dnes nese své jméno.
Zásadní změna nastala v roce 1982, kdy byla budova rekonstruována a začala sloužit jako zvláštní škola. V roce 2014 došlo k přejmenování školy ze ZŠ Štramberská na Základní školu Floriána Bayera, a to jako pocta tomuto významnému rodákovi, který byl dne 7. května 1942 popraven v koncentračním táboře Mauthausen.
Od roku 2016 škola funguje jako základní škola pro žáky 1. – 5. ročníku. Současně zajišťuje vzdělávání také ve třídách zřízených podle § 16 odst. 9 školského zákona, tedy ve třídách určených pro žáky se speciálními vzdělávacími potřebami, včetně tříd pro žáky s lehkým mentálním postižením, tříd logopedických a tříd pro žáky s poruchou autistického spektra, a to od 1. - 9. ročníku.